ПОИСК НЕИСПРАВНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

Реализация алгоритма классификации состояний позволяет об­наружить отказ в системе. После этого возникает следующая за­дача: на основе анализа обобщенного параметра выделить неис­правный функциональный элемент или связь между ними. Пока­жем, что описанный в §2.2 подход позволяет решать и эту задачу, однако прежде поясним его физическую сущность.

В основе теории диагностики лежат два фундаментальных фи­зических принципа: причинности и унитарности. Если исключить изменчивость внешних условий, то можно утверждать, что всякое изменение параметров обобщенного сигнала обусловлено измене­нием состояния системы. Справедливо и обратное утверждение: всякое изменение состояния системы приводит к изменению обоб­щенного параметра, т. е. любое явление природы не может бес­следно исчезнуть, не найдя отражения в других явлениях. Поэто­му регистрация сигнала и априорные сведения о зависимости его свойств от свойств системы принципиально позволяют путем логи­ческого рассуждения установить причину данной реализации сиг­нала.

Состояния системы и параметры обобщенного сигнала образу­ют пространства состояний и сигналов. Свойствами этих прост­ранств являются непрерывность и всюду плотность. Кроме того, предполагается изоморфность этих пространств, т. е. тождествен­ность с точностью до терминологических обозначений. Эти свой­ства приводят к тому, что любая компактная область пространст­ва состояний отображается компактной областью пространства сигналов и при этом сохраняется упорядоченность отображенных элементов.

Перейдем к математической формулировке задачи поиска. Рас­смотрим вновь систему с оператором W(kь …, kn, t), для которой реализация сигнала, соответствующая исправному состоянию, есть

yf{W{k, …, kn, t), t], а соответствующее амплитудное распределе­ние имеет вид то (А). Здесь kit і= 1, 2, п — компоненты, завися­щие от состояния ФЭ и связей между ними. Если в системе име­ется отказ г-го функционального элемента или какой-то связи, то реализация ОП примет вид yt[W (ku…, ku kn, t), t], а соответ­ствующее амплитудное распределение запишется как т,(А).

Таким образом, предполагается, что появление типов отказов (а не самих отказов, которых гораздо больше) приводит к появле­нию множества различных реализаций, относящихся к некоторому конечному множеству {М), т. е. ^(‘)eJH, причем для конкретного типа АС {М} не очень велико.

Очевидно, что применяя изложенную в § 2.2 методику, можно определить оператор преобразования фг-, обнаруживающий отказ г-го ФЭ относительно исправного состояния. Рассуждая по анало­гии, можно при отказе /-го функционального элемента определить соответствующий ему оператор ф,- и т. д. Однако априори, имея информацию о наличии отказа, мы не знаем, какой именно функ­циональный элемент отказал.

Тогда задача сводится к следующему: имея информацию в ви­де реализации г/,(-)е7И и набора операторов {ф,, … г = 1, … п}, выделить номер функционального элемента, послужившего причи ной такой реализации. Рассмотрим решение этой задачи на приме ре различения двух отказов. Пусть в системе могут отказать либо блок І, либо блок j, ДЛЯ которых существуют операторы фу И фу Применим последовательно к каждой из реализации </,(-) и «/,(•) операторы ф; и ф, и сравним сигналы на выходе системы распозна­вания для различных отказов при одном и том же операторе.

В силу того что оператор выбирается из условия (2.5), ясно, что для всех /’, j, таких, что іф]

S,[b]>S,[U (2.9)

при S,[$,]= Sj[ty],

где и 5,[ф,] ■—сигналы системы распознавания с операторами фу и ф«

при наличии в системе отказа 1-го элемента.

Иными словами, при заданном типе отказа I и соответствующем ему операторе фу значение сигнала на выходе системы распознава­ния всегда будет больше, чем при любом другом операторе, приме­ненном к анализу реализации /-го типа. Отсюда становится ясным алгоритм поиска неисправности, который состоит из двух частей — обучения и распознавания.

На этапе обучения сначала при выбранном обобщенном пара­метре определяются все типы отказов ФЭ и связей между ними, т. е. множество {М}. Фактически при заданных требованиях по диаг­ностике с точностью до ФЭ или связи между ними это означает, что нужно определить влияние параметра ФЭ. или связи на обобщенный параметр. В настоящее время это выполнимо даже для весьма сложных радиоэлектронных систем либо с помощью инженерного анализа функциональной схемы, либо с помощью методов планиро­вания эксперимента. Затем, для каждой пары реализаций, соответ-

ствующих исправному состоянию и одному из типов отказов, по ме­тодике § 2.2 определяется оператор преобразования фч, п.

На этом заканчивается формирование априорных сведений о зави­симости сигнала от свойств системы.

На этапе распознавания (после фиксации факта наличия отка­за по методике § 2.2) ‘реализация обобщенного параметра подвер­гается преобразованию вида (2.1) так, чтобы получить значения Si при различных операторах фц. Обнаружение отказавшего ФЭ или связи сводится к выбору функционального элемента или связи с та­ким номером /, для которого выполняется условие

S*=imx{S,.}. (2.10)

і

Рассмотренный алгоритм относится к случаю, когда в системе существует только один отказ. При возникновении двух и более отказов одновременно их отыскивают путем последовательного при­менения алгоритма, описанного в настоящем параграфе. Это осно­вано на следующем факте. В силу различного влияния параметров ФЭ на выходной сигнал значения Зффч] ,и 5,{ф’,] будут различны. Поэтому АДТС выберет наибольшее из них и зафиксирует отказ (например, ФЭ с номером г). Так как после устранения отказа производится контроль по алгоритму § 2.2, то в системе снова будет зафиксирован отказ. Снова применяется алгоритм § 2.3 и выделя­ется уже другой отказ (например, с номером j). Эти операции про­водятся до тех пор, пока все отказы не будут локализованы. Огра­ничения по глубине разрешения неисправностей будут описаны в § 2.4.

Отметим некоторые особенности предложенного метода диагно­стики. Отказ может быть обнаружен, если его влияния на обобщен­ный параметр достаточно для создания различия между реализа­циями Уо(’) и Уі(‘), а точнее — для получения различия в ампли­тудных распределениях т0(Х) и т; (/,). Здесь возможен случай, что Уо(-) и!/,•(•) различаются, но при построении т0(Я) и тДХ) это раз­личие оказалось исключением вследствие недостаточной разрешаю­щей способности схемы определения т(?ь). Выходом из создавше­гося положения может быть увеличение разрешающей способности (например, при увеличении числа уровней X). Другой способ за­ключается во введении в обобщенный параметр компонента, ко­торый был бы более «контрастным» и характеризовал отказ дан­ного типа. Фактически это означает создание искусственного или модификацию выбранного обобщенного параметра по компонен­ту Уі.

Возможна ситуация, когда различным типам отказов соответст­вует один и тот же оператор преобразования фч, отделяющий каж­дый из этих отказов от работоспособного состояния. Обозначим его через фго — Разделяют такие типы отказов между собой путем по­строения совокупности операторов, отделяющих типы отказов внутри этой группы. Для локализации типа отказа, входящего в такую группу, необходима комбинированная процедура с двумя

или более этапами разделения, причем на каждом этапе операций однотипны, а меняются только операторы преобразования.

Пусть на первом этапе выделена группа, соответствующая опе­ратору фг-. Определим внутри нее набор операторов {фгд 7= = 1,…, Аг), где N — число отказов в группе, таких, что для любой пары неисправностей {/, s}, j=£s, j, s=l, ..N, Тогда ло­

кализация ФЭ будет обеспечена путем последовательного приме­нения набора {ф,/} к реализации обобщенного параметра и ис­пользования (правила (2.10). Особенность построения операторов {»]■-;} будет состоять в том, что необходимо зафиксировать номер se 1, N и искать {ipij, j¥=s}> отделяющие все отказы j=/=s от отказа s. Если внутри группы, характеризуемой оператором фг, имеется под­группа, характеризуемая оператором ф^-, в которой имеется более, чем один тип отказа, то описанная комбинированная процедура по­вторяется, причем строится набор операторов (ф^, 1, п}, отделя­

ющий отказы этой подгруппы с номерами 1, 2, …, k—1, k+, ft — от отказа с фиксированным номером k и т. д. С точки зрения по­строения разделяющей поверхности такой подход приводит к по­строению нескольких поверхностей вида (2.3), что в общем случае обеспечивает более точную п подробную классификацию. Таким об­разом, в этом случае схема поиска неисправного ФЭ представляет собой ветвящуюся структуру, число уровней которой определяется как необходимой глубиной поиска, так и конкретными особенностя­ми построения диагностируемой системы илн комплекса. Все заме­чания, изложенные выше относительно различия амплитудных рас­пределений исправного и неисправного состояний, справедливы и в случае различия отказов.

Построение схемы поиска отказавшего ФЭ в виде ветвящейся структуры целесообразно не только при детализации номера ФЭ для случая одинаковых операторов преобразования, но и при раз­личных операторах. Последнее связано с тем, что такая схема по­зволяет сократить общее время поиска неисправного ФЭ и обеспе­чить требуемую достоверность.

Прежде всего оценим вероятность ошибочного решения при од­нократном применении алгоритмов § 2.2 и 2.3, для чего рассмотрим ситуацию, когда в системе, состоящей из п ФЭ, отказал ФЭ с но­мером В этом случае истинное состояние системы, отклассифи- цированное при заданном наборе операторов {ф} по правилу (2.10), имеет вид {Sj, Si, S2,…, S,,}. Здесь предполагается для конкретно­сти, что ближайшим к /-му является ФЭ с номером 1. Предположим теперь, что в результате ошибочного распознавания зафиксировано’ состояние (Sb Si, S2,…, Sn}, т. e. функциональные элементы с но­мерами I и 1 поменялись (Местами. Порядок остальных ФЭ в дан­ном случае несущественен, так как предполагается, что в смысле разности (2.5) они достаточно удалены от рассматриваемой пары и не влияют на конечный результат классификации.

Пусть заданы условные плотности распределения результатов на выходе устройства распознавания «р3-(S | ф3), /cz 1, п, полученныее

учетом использования операторов преобразования из заданного на­бора {ф}, при этом

ОО ОО

j S<fi (SI <]>,.) dS > j Sep, (51Ф,) dS. (2.11)

— 00 — 00

Вероятность ошибочной классификации равна вероятности того, что Р {St<5,}=P {Si -S,<0}. Отсюда следует, что для вычисления вероятности ошибки надо найти распределение разности. Обозначим Si — Sl—v и Sf=T)-)-S,. Тогда на основе теоремы о композиции

оо 1

двух распределений P{l/<^}== [ [ ср,(SJdS,.

— 00 —do

00

Плотность распределения разности p{v}= J <р, (S,)^, (Ti-j-SjjrfS,.

— 00

О

Отсюда вероятность ошибочного решения равна j p{v}du. Допус-

— оо

спім, что cpi(S|]),) и (Pi(S|t|p) —плотности нормального распреде­ления с параметрами соответственно ти а2, ти Oi2. Тогда искомая ВС])ОЯТНОСТЬ ошибочного решения

В случае если вид плотностей Ф.; (S | фц) неизвестен, а известны лишь границы изменения значения S, целесообразно использовать ап­проксимацию равномерной плотностью.

Перейдем теперь к определению вида ветвящейся структуры. Это означает, что необходимо выбрать количество уровней и число функциональных элементов, на каждом уровне, разделяемых по пра­вилу (2.10). Решим эту задачу из условия минимума среднего вре­мени на поиск отказавшего ФЭ при обеспечении заданной досто­верности классификации. Рассмотрим процесс разделения двух функциональных элементов с номерами j и k.

Пусть для них выполняется условие вида (2.11), т. е.

оо оо

j Sb(S^j)dSC j Scpft (S! Фй)(/5.

Тогда для каждой пары (k, /) можно вычислить вероятность оши — бочиого решения и построить матрицу ошибок разделения ||pftj||, к, /є 1, k, где элемент

hj=p{Sk—Sj<0}= j j 9k{Sk)<fj(v—Sk)dSkdv.

Преобразуем каждую строку этой матрицы, расположив ее элемен­ты по убыванию модуля величин pjh. Получим элементы вида где Pfcs>|3ft(S+i). Обозначим наибольшее значение в каждой строке через Выберем в качестве ошибки, которой будем характери­зовать случай разделения двух ФЭ на уровне I, р(1) = max {[40}

к

Пусть теперь на уровне і осуществляется разделение трех ФЭ. Так как классификация этих ФЭ осуществляется независимо друг от друга, то общая ошибка разделения не превышает суммарную их ошибку, т. е. сумму двух первых элементов в каждой строке.

Обозначим возможный набор таких ошибок ^ fV и выбе-

5=1

рем в качестве ошибки, которая может возникнуть при разделений на уровне і трех ФЭ, р(2) = тах {р*2)}.

k

Поступая по аналогии, можно получить, что ошибка при разделе­нии ki ФЭ на уровне і имеет вид:

(Vі

Р(*<-1>=шах{^ г 1)}==тах 2 Р*.

I 5-1

„ . (1, если на уровне і выбрано kt ФЭ;

Обозначим Xi(ki) = { в *

(О во всех остальных случаях.

Тогда суммарная ошибка на всех уровнях L не превзойдет 1« 1

Пусть продолжительность анализа реализации обобщенного па­раметра при одном операторе равна 0О. При ki ФЭ на уровне і об­

щее время анализа равно которых

L L

0o2^i = mineo

Z-1 {*/} /-1

то будет обеспечено минимальное среднее время поиска неисправ­ного ФЭ. Определим ограничения, которым должны удовлетворять эти переменные. Из существа задачи следует, что все ki — целые, неотрицательные числа, которые должны удовлетворять условию г

П /г,-= Л’.Предельными структурами поиска являются либо струк — г-1

тура типа дихотомического поиска, когда осуществляется разделе­ние ровно двух ФЭ, либо структура, при которой сначала все ФЭ делятся на две группы, а затем осуществляется поиск среди ФЭ каждой группы. При отсутствии априорных сведений о вероятно-
огях отказов ФЭ каждая группа будет содержать /(/2 ФЭ. Поэто­му

И, наконец, .пусть задана общая достоверность выделения неис­правного ФЭ Рдоп — Тогда выбор ki из условия 2 (£,)•< рдоп

обеспечит требуемый уровень достоверности. Теперь задача выбо­ра ветвящейся структуры из условия минимума среднего времени поиска ФЭ при заданной его достоверности сводится к задаче мате­матического программирования: выбрать числа ki так, чтобы

L L

0о 2 £*=min 60 2 kt

м {М Я

i = l

Предложенная формулировка позволяет решать и обратную задачу: выбрать числа ki° из условия обеспечения минимума ошибки поиска ФЭ при ограничении на среднее время поиска. Формально задача математического программирования для этого случая имеет вид:

2 ykl~l) Xi {k°,)=min 2 ?(*г~1)-*ч (ki)

/=1 {*/} о і

П kt=K, 2<&г</(Г/2, kt — целые,

/-і

,, . 11, если на уровне і выбрано kt ФЭ;

V^U |

10 во всех остальных случаях;

2л'<7’л/е о.

/-і где Тд — директивное время поиска ФЭ.

2.4 МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННОГО ПАРАМЕТРА

Основные требования, которым обобщенный параметр должеш удовлетворять, следующие:

существование для всех возможных состояний исследуемого объ­екта диагностики;

способность всесторонне характеризовать структуру объектов диагностики, в том числе и имеющих обратные связи;

однозначность, которая предполагает соответствие (с точностью до ошибки измерения) значений обобщенного параметра заданному набору параметров блоков, узлов, входящих в объект диагностики;

простота и физический смысл, связанные с возможностью непо­средственного измерения характеристик обобщенного параметра с последующей интерпретацией результатов.

Сформулируем задачу определения ОП более строго. Функцио­нирование бортовой АС можно представить в виде преобразования

Y{t)=W/K, t{X{t)}, (2.12)

связывающего в динамике входные возмущения X(t) и реакцию Y(i). Здесь WK, ;{•} — математическое описание работы реального устройства, т. е. оператор, структура которого задает последова­тельность операций над входными сигналами и совокупность пара­метров, определяющих пропорциональность математических дей­ствий. Компоненты л-мерного вектора К=Ки К2, ■ ■ ■> Кп) харак­теризуют параметры типовых звеньев, из которых состоит етруктуца ^объекта диагностики.

Большим классом авиационных систем является класс стацио­нарных систем, который описывается с помощью системы линейных дифференциальных уравнений вида;

V(t)=A(K)Y(t) + B(K)X(t), (2.13)

где А(К)—матрица коэффициентов, определяющая свойства и структуру АС;
В (К)—матрица, определяющая свойства и структуру возмущений X(t).

Размерность этих матриц, а также векторов Y(t), X(t) зависит от количества входов и выходов АС и задается исходя из постав­ленной задачи исследования.

Большинство бортовых АС по своему назначению являются из­мерителями различных величин, т. е. имеют замкнутую структуру и характеризуются наличием отрицательных обратных связей. Поэто­му наиболее актуально определение обобщенного параметра имен­но для такого класса систем.

Задачи проверки работоспособности и диагностики сводятся к разбиению множества состояний {М} на два подмножества: {АК} — исправных состояний и {М2} — неисправных состояний; анализу под­множества {А42} и однозначному выделению возникшей неисправно­сти как следствие изменения одного из параметров Ки т. е. одно­значному определению {M2J, Эта задача решается путем

.анализа на интервале времени [О, Т] функции У (К, t) такой, что она является, с одной стороны, решением дифференциального урав­нения

V а, (К)

связывающего q-й вход с р-м выходом линейной системы, а с дру­гой — элементом матрицы решений уравнения (2.13). Иными

словами, необходимо найти такое решение У (К, /), которое позво­лит однозначно выделить возникшие неисправности.

Основная идея методов распознавания реализацией У (К, t) со­стоит в отображении бесконечного многообразия значений функции У (/(i, t) в конечно-мерное пространство признаков L. При этом воз­никают две взаимосвязанные задачи: формирование конечно-мер­ного пространства признаков L; определение однозначного отобра­жения каждой неисправности (изменения компонента вектора К) в. определенное множество {Ж2Л в пространстве признаков L.

Первая задача решается представлением У(/С, /) в виде конеч­ной суммы ортогональных функций Ui(t) на сегменте [0, t:

ТП

Y(K, t)^pdK)ut(t).

i = l

Линейная оболочка системы векторов (рь р2, • • •, р? п) образует ///-мерное пространство признаков, где

т

J и» (О У (К, t)dt

Pi = ~—— j—————- •

J И* (О Л

Таким образом, каждая реализация у (К, t) на сегменте анали­за [О, Т] однозначно представляется в виде /п-мерного вектора р = = (р,…, рт)- В свою очередь, признак р{ является некоторой функцией на множестве параметров К, т. є. pi = pi(K)- Зафиксируем точку К°= (Кі°,…, Кп°) характеризующую номинальное

состояние АС, и для 6>0 при

составим систему уравнений, используя разложение каждого при­знака в многомерный ряд Тейлора:

А(*)= ^ рП(К°) + /?ц; І = ТГт, (2. 14):

іг/ЇГі

где р(р [/с° + е (/с — /С0)] ^ ^——- остаточный член раз-

г-=1

ложения и О<0<1. Для любого б>0 остаточный член R# можно’ оценить и заменить постоянной величиной, исходя из условия:

^ Pi [Ко + 6 (К — К0)] (к кпу ^ ^ р (К -«су _ А,,

где F — максимальное значение функции pj(K) при Д^б.

Полагая 1=2, получим неоднородную линейную систему урав­нений:

СД=//; p’=p~ffi, (2.15)

яде Л=Д—К0, p°=(pi°,…. рт°)—вектор признаков, соответствующий номи­нальному вектору к° с учетом остаточного члена разложения, использова­ние которого обеспечиваег решение задачи выбора конечно-мерного прост­ранства признаков.

Решение второй задачи связано с нахождением единственно — то решения системы (2.15). При рфО

••• *=1> т- (2.16)

Система (2.16) совместна и определена (имеет единственное решение), ікогда rang||C|p||=n, т. е. когда число неизвестных ‘рав­но количеству линейно независимых уравнений. В противном слу­чае она несовместна, либо не определена [67]. При т^>п (количе­ство измеряемых признаков не меньше числа диагностируемых па­раметров) rang||C/p||<n, условие ортогональности функций Ui(t) на [0, 7] нарушается, и система (2.16) становится несовместной.

Стремление снизить размерность вектора р= (ррт), не уменьшая размерности Кп), приводит к ограниче­

нию на число одновременно изменяющихся компонентов К, т. е. к ограничению на кратность неисправностей. Очевидно, что эта крат­ность равна размерности пространства признаков (dimL), так как при т<п rang||C|p||cm.

Предположим, что в заданной АС число кратных неисправно­стей не превышает т и требуется найти наибольшее число одно­значно выделяемых неисправностей. Эта задача эквивалентна на­хождению всех миноров т-го порядка в матрице С.

Найдем все миноры Мц, i = 1, п, /=1, J, J =C™Zі и соста­

вим из них матрицу ||М||, содержащую пС™~- элементов. Алгоритм нахождения наибольшего числа однозначно определенных неис­правностей сводится к вычеркиванию строк и столбцов в ||7W]|, со­держащих нулевые элементы, и выделению номера столбца либо (Строки с максимальным количеством элементов, отличных от ну­ля. Индексы элементов в этих строке или столбце укажут на ис­комое решение.

Таким образом, для каждой реализации Уз{К, t) на /-ом выхо­де системы можно найти число однозначно выделяемых неисправ­ностей. Выбор такого Уз (К, t), для которого это число максималь­но, и будет означать определение обобщенного параметра для дан­ного объекта.

Описанный алгоритм упрощается, если использовать оценку нижней границы числа однозначно определяемых неисправностей Inf (К), которая получается, если заменить элементы матрицы ||С|| по правилу:

( 1, Си> 0;

С,/= 0, Си=0; (2. 17)

1-1. С,/<0.

Так как знак производной признана по любому параметру Кр (мри К>0) определяется элементом Сц, то число возможных от­личных друг от друга столбцов матрицы ||С|| равно rm=3m. Про­ведя вычисления по вышеописанной методике для /п = 2, 3,..not индукции можно доказать, что число однозначно выделяемых па­

Например, при т=2 однозначно раз­

решаются четыре неисправности, при этом система (2.15) прини­мает вид:

	Д1
1-10 1		Д2		Р’х
1 110		>  со		Р2
	Д4

Здесь матрица ||C|j подобрана таким образом, что ни один из ми­норов второго порядка не равен нулю. Поэтому при кратности не­исправности не более 2 для каждой из четырех неисправностей Дг — н пространстве признаков однозначно определено четыре множест­ва {Mi}, t= 1, 4.

Пусть теперь при той же размерности вектора признаков дела­ется попытка разделить пять неисправностей. В этом случае мат­рица ||С|[ примет вид:

1-10 1 1 110

Здесь в 5-м столбце должен быть набор, Содержащий элементы’ 0 1, 1. Оказывается, что невозможно найти такую комбинацию из

ггнх элементов, чтобы какой-либо из миноров 2-го порядка не ока­зался равен нулю. Иными словами, комбинация признаков р, со­ответствующая 5-й неисправности, оказывается линейной комбина­цией одной из первых четырех неисправностей, поэтому отделить се невозможно.

Решение нормальной системы (2.13) в операторной форме пот зноляет для случая замкнутой системы получить матрицу переда­точных функций ||Ф1! [56], элемент которой

представляет собой функцию передачи от у-го Входа к і-му выходу и имеет одинаковый знаменатель для всех І, /, т. е. одно н тоже ха­рактеристическое уравнение |£р — Л|=0. Параметры этого урав­нения в основном определяют характер изменения выходного сиг­нала и, следовательно, его можно выбрать ядром формирования пространства признаков L и классификации {М2} на {М2і}.

Числитель в выражении (2.18) влияет лишь на относительную ■величину составляющих выходного сигнала и за счет его соответ­ствующего выбора пространство признаков можно расширить, что ведет к увеличению числа однозначно выделяемых неисправностей.

Таким образом, алгоритм построения обобщенного параметра для замкнутых систем с обратной связью сводится к следующему: составляют характеристическое уравнение АС |Ер — А|=0, параметры которого определяют пространство признаков L=

= L{pi, р2, ■ ■ •, Рт) размерности т

используя (2.14, 2.16, 2.17) находят inf (/С) и множества {М2і)<=Кі параметров, изменение которых классифицируется одно­значно;

на основе анализа матрицы передаточных функций ||Ф|| с точ­ностью до каждого элемента выбирают такое решение Y(р) = — Ф(р)Х(р), в котором число однозначно разрешаемых неисправ­ностей максимально.